Григорий Юрьевич Будаев родился 2 июля 1950 года в городе Алма-Ата.
В 1957 году поступил и в 1967 году закончил среднюю школу № 44 Октябрьского района столицы Казахской ССР.
После окончания школы поступил в Луганское (позднее Ворошиловградское) высшее военное училище штурманов имени Пролетариата Донбасса, в состав курсантов которого был зачислен 18 августа 1967 года. На третьем курсе Григорий Юрьевич вступил в члены КПСС.
Офицерскую службу лейтенант Григорий Будаев начал в составе 793 отдельного вертолётного полка 34 Воздушной Армии в должности штурмана вертолёта Ми-6.
Всего за 5 лет Григорий Юрьевич стал штурманом 1 класса.
В сентябре 1981 года капитан Будаев направляется в первую командировку в Афганистан в 181 отдельный вертолётный полк на должность штурмана отряда вертолётов Ми-6. Через год Г.Ю.Будаев возвращается в свой 793 полк.
Менее чем через год, в августе 1983 года, Григорий Юрьевич вновь возвращается в Афганистан на должность штурмана эскадрильи. Вторая командировка в Афган завершится в октябре 1984 года.
За личное мужество, проявленное при выполнении служебного долга в Афганистане, Г.Ю. Будаев награждён двумя орденами Красной Звезды, афганским орденом Звезды 3 степени и многими медалями.
В представлениях к награждению орденами командиры отмечали хладнокровие, выдержку, смелость и героизм при выполнении Г.Ю. Будаевым боевых заданий. Выполняя задачи командования в сложных метеоусловиях, сильного противодействия средств ПВО противника, капитан Григорий Будаев умело производил расчёты и вывод экипажа в заданный район боевых действий, обеспечивая тем самым своевременную высадку десанта, доставку оружия и боеприпасов.
Офицерскую службу подполковник Григорий Будаев завершил в 1991 году в должности старшего штурмана полка.
Надёжным помощником военного лётчика всегда бала и остаётся его семья: супруга Элеонора Ивановна, дети Елена и Илья.